Ein Hauch von Unendlichkeit

Für mich ist immer das Nachdenken über Gottes Größe mit einem Nachdenken über das Unendliche sehr eng verknüpft, weshalb ich (hier treffen sich vllt der Naturwissenschaftler und der Mystiker in mir) gerne über so etwas nachdenke. Es vermittelt einem eine Vorstellung vom ungeheuer großen, davon, was dahinter steht, wenn man von "Ewigkeit", dem "immer größeren Gott" etc. spricht. Und so wollte ich heute über große Zahlen schreiben.

In der Grundschule war unter meinen gläubigen Mitschülern ein Ausdruck für eine große Zahl "Gotteszahl", was so ziemlich gleichbedeutend mit "unendlich" war.

Irgendwie begann es da, daß hohe Zahlen banal wurden. 'Ne Million, ne Milliarde.... komm schon. Ich glaube in der dritten Klasse war es, daß ich in einem Heft eine eins mit tausend nullen schrieb. Darauf war ich wahnsinnig stolz und es vermittelte was vom "unendlichen". Außerdem habe ich ne "Zentrillion" getoppt (10^600).

Aber letztlich waren das alles Zahlen, die man, mit etwas Geduld und Spucke hinschreiben konnte. Man kann natürlich immer sagen, daß "unendlich"... unendlich viel größer ist. Na ja, in der Grundschule hat das noch irgendwie geklappt, daß das einen faszinierte; mein Vater erzählte uns, daß sich zwei Parallelen im Unendlichen schneiden und selbst jetzt erinnere ich mich noch an das (wissenschaftlich komplett unkorrekte) Bild, was ich dann in meinem Kopf hatte. Zwei Geraden, die durch eine spacige Landschaft rasen und in dieser aufeinander treffen. Schwer zu beschreiben, jedenfalls war ich fasziniert.

Später merkt man aber, daß "unendlich" etwas ist, mit dem man gut rechnen kann. Die Funktion f(n) = 1/n wird null für ein unendliches n. Wow. Limesbetrachtungen haben hier dafür gesorgt, daß man den Respekt vor großen Zahlen verliert. (Vllt habe ich deshalb Limesbetrachtungen früher immer gehaßt)
Dementsprechend wurde klar, daß "unendlich" letztlich nur ein Platzhalter war für eine Zahl, die man nicht kennt. Und was man nicht kennt, kann einen kaum faszinieren, nicht war? Man weiß ja nicht, wie groß "unendlich" ist und hat nach wochenlanger Kleinarbeit (hüstel) schonmal eine eins mit tausend nullen vor sich gesehen, was kann einem also helfen, mal wieder an das ganz Große zu denken?

Bei mir war das die so genannte "Grahamsche Zahl". Eine Zahl, würdig, daß man von ihr ein Fan ist, denn sie ist eine der größten Zahlen, die in einem wissenschaftlichen Beweis verwendet wurden. - sie bildet irgendeine Schranke für irgendein Verhalten, nagelt mich nicht darauf fest, aber ich lade Euch ein, mit mir über die schier unendliche Größe dieser Zahl zu meditieren.

Um das überhaupt zu tun, müssen wir eine neue Schreibweise einführen (die im Fließtext schlecht Darstellbar ist, drücken wir sie mal als î aus), nämlich die Knuthsche Pfeilnotation . Sie ist wie folgt definiert:

aîb = a^b

So weit, so gut, was soll das jetzt? Na ja, man kann ein paar dieser Pfeile hintereinander schreiben:

aîîb = a^a^a^.....^a d.h. b mal a hoch a. Mann kann das auch als aîaîa....îa schreiben, also b mal aîa sozusagen.

das kann man mit mehr Pfeilen noch höher treiben etc.

Machen wir mal ein Beispiel

3î3 = 3^3 = 3*3*3 = 27
3îî3 = 3î(3î3) = 3^(3^3) = 3^27 = 7625597484987 d.h. fast acht Billionen.

3îîî3 = 3îî(3îî3) = 3îî(7.6*10^12)
Schon diese Zahl ist so groß, daß wir selbst mit der Knuthschen Pfeilnotation an Grenzen stoßen.

Wir können uns vorstellen, daß die Zahl

3îîîî3

nun schon erschreckend groß ist.

3îîîî3 = 3îîî3îîî3 = 3îîî(3îî3îî3)

Falls ihr dachtet, hier endet unser Spaziergang in die Welt des ganz riesigen, wir haben eigentlich erst den Park des Unvorstellbaren betreten. Jetzt erst kommen wir überhaupt zur Definition der Grahamschen Zahl.

Diese ist folgendermaßen definiert: Wir definieren eine Folge:

G(k) = 3îî.....îî3 wobei es zw. den beiden dreien G(k-1) Pfeile gibt.
Das erste Element dieser Folge ist G(0) = 4
Also ist G(1) = 3îîîî3, also schon eine Zahl, bei der unser Gehirn streikt.

Die Grahamsche Zahl selbst ist G(64). Und jetzt lehnt euch mal zurück und überlegt, ob ihr irgendwie die Größe dieser Zahl erfassen könnt. Ich bin dann jedenfalls immer mindblown und bekomme eine Ahnung von der unvorstellbaren Größe Gottes. Und wie "unmöglich", wie unverständlich der Akt der Menschwerdung war.

Einen klitzekleinen Teil dieser Zahl kann man in herkömmlichen Zahlen fassen, nämlich die letzten zehn Stellen (Zahlentheorie macht es möglich):

2464195387

So, nun kennt ihr die letzten Ziffern einer der größten Zahlen, die sich je ein Mensch ausgedacht hat. Falls ihr es noch größer braucht, sucht nach TREE(3). Oder bittet mich, darüber noch was zu schreiben.